RP10

聖心女子大学国際交流学科
2024年秋学期

アジア経済研究所伊藤成朗

$P$ valueをなぜ使うか

問い=帰無仮説research question=null hypothesis

政策実施後所得の標本平均値 $\bar{x}$=特定の値(たとえば政策実施前所得の平均値 $\mu$)? pre-policy mean $\bar{x}$=specific value (e.g., pre-policy mean $\mu$)?

仮説検定は以下の手順を踏んでいると想定していますa hypothesis testing considers the following steps

母集団から$n$個の標本を抽出するsample $n$ values from population
標本平均値を計算するcompute a sample mean
1.と2.を無限大の回数繰り返すrepeat 1. and 2. for infinite times

無限大回数繰り返す($\simeq$何度も標本抽出する)ことで、母集団平均値の分布を描くことができますby sampling infinitely many times, one can draw distribution of population mean

$P$ valueをなぜ使うか

母集団=政策実施前所得の集合population=a collection of pre-policy incomes
母集団平均値$\mu$=不可知、その近似分布=可知←繰り返し抽出population mean=cannot be known, its distribution=can be known←repeated sampling

母集団平均値分布で$\bar{x}$が外れ値 ⇒ $\bar{x}$と$\mu$の差が大きい$\bar{x}$ is an outlier in population mean distribution ⇒ $\bar{x}-\mu$ is large

⇔

$\bar{x}$の右部分の面積(=$p$ value)が小さいan area right of $\bar{x}$ is small

⇔

帰無仮説(政策効果なし)の分布では極端な事象an extreme event under the null dist.

⇔

政策効果なしは疑問視(「政策効果あり」)zero policy impact is questioned

$P$ valueをなぜ使うか

でも、通常は、母集団からの標本抽出などできませんbut we usually cannot sample from population

入手可能であれば、政策実施前と考えられるデータを使いますif available, use the data that are considered as pre-policy
- 統御群データcontrol group data

手元にあるデータが唯一の場合if the only data is the one in your hands

標本サイズ$n$が大きい場合: で近似できる←中心極限定理($n\to\infty$)の漸近近似large $n$: approximated by normal distribution←central limit theorem($n\to\infty$)
標本サイズ$n$が小さい場合: small $n$
1. 変数が正規分布に従う場合: を想定if sample $\sim$ $N(\mu,\sigma^{2})$: use $t$ tests
2. 変数が正規分布に従わない場合: 標本をもっと集めるif the sample is off normality: get more sample

$P$ valueをなぜ使うか

library(ggplot2)
library(data.table)
set.seed(12345)
alpha <- 1
beta <- 4   
n <- 3
base <- ggplot() + xlim(alpha-1, beta+1)
m2 <- NULL
for (i in 1:5) {
  m1 <- runif(n, min = alpha, max = beta)
  m1 <- data.table(x=m1, y = 0-i/(5*5), z = i)
  m2 <- rbind(m2, m1)
}
m2[, z := factor(z)]
m3 <- m2[, .(mean = mean(x), y = mean(y)), by = z]
g <- base + 
  geom_point(data=m2, aes(x=x, y=y, group = z, shape = z, colour = z)) +
  stat_function(aes(colour = "state 1"), fun = dunif, args = list(alpha, beta), n = 10001) +
  geom_point(data=m3, aes(x=mean, y=y, group = z), shape = 10, colour = "blue") +
  geom_point(data=m3, aes(x=mean, y=0), shape = 10, colour = "blue") +
  theme(
    legend.position = "none"
  )
g <- g + geom_density(data = m3, aes(x=mean))

抽出回数=50で上記Rコードを繰り返します。

$P$ valueをなぜ使うか

特定の確率密度関数=母集団から抽出

中心極限定理: central limit theorem母集団がどんな形状でも、moment generating functionがゼロ近傍で存在すれば、標本平均値の分布は標本サイズが無限大になるにつれて、正規分布に近づいていくfor any population distribution, if the moment generating function exists around the neighbourhood of zero, the sample means start to follow a normal distribution as we increase the sample size

$P$ valueをなぜ使うか

$P$ valueをなぜ使うか

手元にあるデータが唯一の場合

標本サイズ$n$が大きい場合: 正規分布を想定できる
- 分布の期待値$\hat{\mu}$と分散$\hat{\sigma}^{2}$は公式がある

$n$個の値$x_{i}$, $i=1,\dots, n$が期待値$\mu$、分散$\sigma^{2}$をもつ同じ(independently, identically distributed, i.i.d.)母集団から無作為抽出されているとき、母集団平均値推計量$\hat{\mu}$とその分散$\hat{\sigma}^{2}$は下記

\[ \begin{aligned} \E\left[\bar{x}\right] &= \E\left[\frac{x_{1}+\dots+x_{n}}{n}\right],&&\\ &= \frac{1}{n}\E\left[x_{1}+\dots+x_{n}\right], &&\scriptsize{\because \E[a+bx]=a+b\E[x]}\\ &= \frac{1}{n}n\mu, &&\scriptsize{\because \mbox{ }x_{i}\mbox{'s are i.i.d.}}\\ &= \mu. \end{aligned} \] $\bar{x}$の期待値=$\mu$なので、母集団平均値推計量$\hat{\mu}=\bar{x}$とする

\[ \begin{aligned} \NU\left[\bar{x}\right] &= \NU\left[\frac{x_{1}+\dots+x_{n}}{n}\right],&&\\ &= \frac{1}{n^{2}}\NU\left[x_{1}+\dots+x_{n}\right], \quad &&\scriptsize{\because\NU[a+bx]=b^{2}\NU[x]}\\ &= \frac{1}{n^{2}}n\sigma^{2}, \quad &&\scriptsize{\because \mbox{ }x_{i}\mbox{'s are i.i.d.}}\\ &= \frac{\sigma^{2}}{n}.&& \end{aligned} \] $\sigma^{2}$は不可知なので、標本分散$s^{2}_{B}=\frac{sse}{n}$で代用

$P$ valueをなぜ使うか

標本分散$s^{2}_{B}$は期待値が母集団分散と異なる(biased estimatorといいます) \[ \begin{aligned} \E\left[s^{2}_{B}\right] &= \E\left[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(x_{i} - \bar{x}\right)^{2} \right]= \E\left[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(x_{i} - \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} x_{j} \right)^{2} \right] \\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \E\left[ x_{i}^{2} - \frac{2}{n} x_{i} \sum_{j=1}^{n} x_{j} + \frac{1}{n^2} \sum_{j=1}^{n} x_{j} \sum_{k=1}^{n} x_{k} \right] \\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left( \E\left[x_{i}^{2}\right] - \frac{2}{n} \left( \sum_{j \neq i} \E\left[x_{i} x_{j}\right] + \E\left[x_{i}^{2}\right] \right) + \frac{1}{n^2} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k \neq j}^{n} \E\left[x_{j} x_{k}\right] +\frac{1}{n^{2}} \sum_{j=1}^{n} \E\left[x_{j}^{2}\right] \right) \\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{n - 2}{n} \E\left[x_{i}^{2}\right] - \frac{2}{n} \sum_{j \neq i} \E\left[x_{i} x_{j}\right] + \frac{1}{n^2} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k \neq j}^{n} \E\left[x_{j} x_{k}\right] +\frac{1}{n^2} \sum_{j=1}^{n} \E\left[x_{j}^{2}\right] \right) \\ &= \frac 1n \sum_{i=1}^{n} \left[ \frac{n - 2}{n} \left(\sigma^{2} + \mu^{2}\right) - \frac{2}{n} (n - 1)\mu^{2} + \frac{1}{n^{2}} n(n - 1)\mu^{2} + \frac{1}{n} \left(\sigma^{2} + \mu^{2}\right) \right] \\ &= \frac{n - 1}{n} \sigma^{2}. \end{aligned} \]

$P$ valueをなぜ使うか

\[ \E\left[s^{2}_{B}\right]= \frac{n - 1}{n} \sigma^{2}. \] $\frac{n}{n - 1}$を乗じてバイアスを除去 \[ \frac{n}{n - 1}\E[s^{2}_{B}]=\sigma^{2} \Rightarrow \frac{n}{n - 1}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_{i}-\bar{x})^{2}=\frac{1}{n - 1}\sum_{i=1}^{n} (x_{i}-\bar{x})^{2}. \]

$n-1$分の1×sseが母集団分散の不偏推計量(unbiased estimator)
$n$が十分に大きいと$\frac{n}{n - 1}\simeq 1$なので$n$分の1×sseでもあまり変わりない

不偏分散推計量$s^{2}$を母集団分散の推計値として使う

\[ s^{2}=\frac{1}{n - 1}\sum_{i=1}^{n} (x_{i}-\bar{x})^{2}. \]

$P$ valueをなぜ使うか

ある程度大きな標本サイズ$n$でないと中心極限定理central limit theoremは使えない

標本サイズ$n$が小さい+正規分布に従うとき=$t$分布を使う

正規分布$N(\mu, \sigma^{2})$から無作為抽出された$x_{i}$
- 小さな$n$でも抽出回数を無限大にするにつれて$\bar{x}$は正規分布に従う\[\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \quad \sim \quad N(0, 1)\]
母集団標準偏差←標本標準偏差$s$で代替 ⇒ $t$分布になる \[ \begin{aligned}\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}=\frac{\sqrt{n}(\bar{x}-\mu)/\sigma}{\sqrt{\frac{s^{2}}{\sigma^{2}}}} \quad \sim \quad \frac{N(0, 1)}{\sqrt{\frac{\chi^{2}(n-1)}{n-1}}}&=t_{n-1} \quad \scriptsize{\mbox{[$t$ distribution with $n-1$ degrees of freedom]}} \\ & s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}.\end{aligned} \]

RP10

References